Владимир Успенский

Математическое и гуманитарное: преодоление барьера

Об авторе | Владимир Андреевич Успенский — ученик А.Н. Колмогорова, доктор физико-математических наук, профессор. Родился в 1930 году в Москве, в 1952 году окончил механико-математический факультет Московского университета. С 1993 года заведует кафедрой математической логики и теории алгоритмов того же факультета. Автор двухтомника «Труды по нематематике» (ОГИ, 2002), статей в журналах «Новое литературное обозрение», «Неприкосновенный запас», «Новый мир». В «Знамени» № 3 за 2005 год опубликовался в разделе «Наблюдатель». 

Никто не знает, сохранят ли грядущие века и тысячелетия нынешнее деление наук на естественные и гуманитарные. Но даже и сегодня безоговорочное отнесение математики к естественным наукам вызывает серьезные возражения. Естественнонаучная, прежде всего физическая, составляющая математики очевидна, и нередко приходится слышать, что математика — это часть физики, поскольку она, математика, описывает свойства внешнего, физического мира. Но с тем же успехом ее можно считать частью психологии, поскольку изучаемые в ней абстракции суть явления нашего мышления и тем самым должны проходить по ведомству психологии. Не менее очевидна и логиче-ская, приближающаяся к философской, составляющая математики. Скажем, знаменитую Теорему Гёделя о неполноте, гласящую, что какие бы способы доказывания ни установить, всегда найдется истинное, но недоказуемое утверждение — причем даже среди утверждений о натуральных числах, — эту теорему можно считать теоремой теории познания.

В 50-х годах прошлого века, по возвращении с индийских научных конференций, мои московские математические коллеги с изумлением рассказывали мне, что в Индии математику — при стандартном разделении наук на естественные и гуманитарные — относят к наукам гуманитарным. И на этих конференциях им приходилось сидеть рядом не с физиками, как они привыкли, а с искусствоведами. К великому сожалению, у гуманитарно ориентированных людей математика нередко вызывает отторжение, а то и отвращение. Неуклюжее (и по содержанию, и по форме) преподавание математики в средней школе немало тому способствует.

Лет сорок назад было модно подчеркивать разницу между так называемыми физиками (к коим относили и математиков) и так называемыми лириками (к коим относили всех гуманитариев). Терминология эта вошла тогда в моду с легкой руки поэта Бориса Слуцкого, провозгласившего в 1959 году в стихотворении «Физики и лирики»:

Однако само противопоставление условных физиков условным лирикам вовсе не было вечным. По преданию, на воротах знаменитой Академии Платона была надпись: «Негеометр (то есть нематематик. — В.У.) да не войдет сюда!». С другой стороны, самое математику можно называть младшей сестрой гуманитарной дисциплины, а именно юриспруденции: ведь именно в юридической практике Древней Греции, в дебатах в народных собраниях впервые возникло и далее шлифовалось понятие доказательства.

Можно ли уничтожить и нужно ли уничтожать ставшие, увы, традиционными (хотя, как видим, и не столь древние!) границы между гуманитарными, естественными и математическими науками — об этом я не берусь судить. Но вот разрушить барьеры между представителями этих наук, между лириками и физиками, между гуманитариями и математиками —  кажется и привлекательным, и осуществимым. Особенно благородная цель — уничтожить этот барьер внутри отдельно взятой личности, то есть превратить гуманитария отчасти в математика, а математика — отчасти в гуманитария. Обсуждая эту цель, полезно вспомнить некоторые факты из истории российской науки. Эти факты связаны — в обратном хронологическом порядке —  с именами Колмогорова, Барсова и Ададурова (в другом написании — Адодурова).

Первой научной работой великого математика Андрея Николаевича Колмогорова (1903—1987) была работа вовсе не по математике, а по истории. В начале 20-х годов XX века, будучи семнадцатилетним студентом математического отделения Московского университета, он доложил свою работу на семинаре известного московского историка Сергея Владимировича Бахрушина. Она была опубликована посмертно (А.Н. Колмогоров. Новгородское землевладение XV века. М.: Физматлит, 1994) и чрезвычайно высоко оценена специалистами, в частности, руководителем Новгородской археологической экспедиции Валентином Лаврентьевичем Яниным. Выступая на вечере памяти Колмогорова, проходившем в Московском доме ученых 15 декабря 1989 года, он так охарактеризовал историческое исследование Колмогорова: «Эта юношеская работа в русле исторической науки занимает место, до которого ее [исторической науки] развитие еще не докатилось. Будучи опубликованной, она окажется впереди всей исторической науки». А в предисловии к вышеназванному посмертному изданию исторических рукописей Колмогорова В.Л. Янин писал: «Некоторые наблюдения А.Н. Колмогорова способны пролить свет на источники, обнаруженные много десятилетий спустя после того, как он вел свое юношеское исследование».

И там же:

«Андрей Николаевич сам неоднократно рассказывал своим ученикам о конце своей “карьеры историка”. Когда работа была доложена им в семинаре, руководитель семинара профессор С.В. Бахрушин, одобрив результаты, заметил, однако, что выводы молодого исследователя не могут претендовать на окончательность, так как “в исторической науке каждый вывод должен быть снабжен несколькими доказательствами”(!). Впоследствии, рассказывая об этом, Андрей Николаевич добавлял: “И я решил уйти в науку, в которой для окончательного вывода достаточно одного доказательства”. История потеряла гениального исследователя, математика приобрела его».

26 апреля (по старому стилю, а по новому стилю тогда было 7 мая) 1755 года состоялось торжественное открытие Московского университета. После молебна были произнесены четыре речи. Первая из них — и притом единственная, сказанная на русском языке, — называлась «О пользе учреждения Московского университета». Говорил ее Антон Алексеевич Барсов (1730—1791). Неудивительно, что в 1761 году он был назначен профессором (в современных терминах — заведующим кафедрой) на кафедру красноречия; вступление в эту должность ознаменовалось его публичной лекцией «О употреблении красноречия в Российской империи», произнесенной 31 января (11 февраля) 1761 года. Чем же занимался Барсов до того? Преподавал математику — именно с Барсова, в феврале 1755 года специально для этой цели переведенного из Петербурга в Москву, и началось преподавание математики в Московском университете! Впоследствии Барсов прославился трудами по русской грамматике; ему же принадлежит и ряд предложений по русской орфографии, тогда отвергнутых и принятых лишь в XX веке.

Еще раньше, в 1727 году, знаменитый математик Даниил Бернулли, работавший в то время в Петербургской академии наук, обратил внимание на студента этой академии Василия ЕвдокимовичаАдадурова (1709—1780). В письме к известному математику Христиану Гольдбаху от 28 мая 1728 года Бернулли отмечает значительные математические способности Ададурова и сообщает о сделанном тем открытии: сумма кубов последовательных натуральных чисел равна квадрату суммы их первых степеней: 1³ + 2³ + ... +n³ = (1 + 2 + ... + n)². Математические заслуги Ададурова засвидетельствованы включением его в биографический раздел однотомного «Математического энциклопедического словаря» (М.: «Советская энциклопедия», 1988). А из статьи «Ададуров» в первом томе другого словаря, — «Нового энциклопедического словаря» Брокгауза и Ефрона, мы узнаем, что Ададуровым написано несколько сочинений по русскому языку и, более того, что «в 1744 году ему было поручено преподавать русский язык принцессе Софии, т. е. будущей императрице Екатерине II». Последующие изыскания (они были проведены братом автора этих строк Борисом Андреевичем Успенским) показали, что Ададуров является автором первой русской грамматики на русском же языке, составление каковой следует рассматривать как большое событие. Ведь важнейшим этапом в языковом сознании носителей какого бы то ни было языка является появление первой грамматики этого языка на том же самом языке; этот этап сравним с осознанием того, что кажущаяся пустота вокруг нас заполнена воздухом. Прибавим еще, что с 1762 года по 1778 год Ададуров был куратором Московского университета — вторым после основавшего университет И.И. Шувалова.

Итак, даже если согласиться с традиционной классификацией наук, отсюда еще не следует с неизбежностью аналогичная классификация ученых или учащихся. Приведенные факты показывают, что математик и гуманитарий способны уживаться в одном лице.

Здесь предвидятся два возражения. Прежде всего нам справедливо укажут, что Ададуров, Барсов, Колмогоров были выдающимися личностями, в то время как любые рекомендации должны быть рассчитаны на массового потребителя. На это мы ответим, что образцом для подражания — даже массового подражания — как раз и должны быть выдающиеся личности и что примеры Ададурова, Барсова, Колмогорова призваны вдохновлять. Далее нам укажут, опять-таки справедливо, что отнюдь не всем гуманитариям и отнюдь не всем математикам суждено заниматься научной работой — это и невозможно, и недолжно. Ну что ж, ответим мы, примеры из жизни больших ученых выбраны просто потому, что история нам их сохранила, но возможность и цель сочетания в одном лице математического и гуманитарного подхода к окружающему миру сохраняют привлекательность не только для научных работников, но и для тех гуманитариев (да и математиков тоже), кто не собирается посвятить себя высокой науке.

По всеобщему признанию, литература и искусство являются частью человеческой культуры. Ценность же математики, как правило, видят в ее практических приложениях. Но наличие практических приложений не должно препятствовать тому, чтобы и математика рассматривалась как часть человеческой культуры. Да и сами эти приложения, если брать древнейшие из них — такие как, скажем, использование египетского треугольника (т. е. треугольника со сторонами 3, 4, 5) для построения прямого угла, — также принадлежат общекультурной сокровищнице человечества. (Кому, чьей сокровищнице принадлежит шестигранная форма пчелиных сот, обеспечивающая максимальную вместимость камеры при минимальном расходе воска на строительство стен, — этот вопрос мы оставим читателю для размышления.) В Древнем Египте, чтобы получить прямой угол, столь необходимый при строительстве пирамид и храмов, поступали следующим образом. Веревку делили на 12 равных частей, точки деления, служащие границами между частями, помечали, а концы веревки связывали. Затем за веревку брались три человека, удерживая ее в трех точках, отстоящих друг от друга на 3, 4 и 5 частей деления. Далее веревку растягивали до предела — так, чтобы получился треугольник. По теореме, обратной к теореме Пифагора, треугольник оказывался прямо-угольным, причем тот человек, который стоял между частью длины 3 и частью длины 4, оказывался в вершине прямого угла этого треугольника.

Каждый образованный человек должен иметь ясное представление о производном числе как о мгновенной скорости и об определенном интеграле как о площади. Поучительно знать и о знаменитых математических проблемах (разумеется, о тех из них, которые имеют общедоступные формулировки) — решенных (проблема Ферма, проблема четырех красок¹ ), ждущих решения (проблема близнецов² ) и тех, у которых решения заведомо отсутствуют (из числа задач на геометрическое построение и простейших задач на отыскание алгоритмов). Ясное понимание несуществования чего-то — чисел ли с заданными свойствами, или способов построения, или алгоритмов — создает особый дискурс, который можно было бы назвать культурой невозможного). И культура невозможного, и предпринимаемые математикой попытки познания бесконечного значительно расширяют горизонты мышления.

Все это, ломая традиционный стереотип математики как сухой цифири, создает ее образ как живой области знания, причем живой в двух смыслах: и связанной с жизнью, и развивающейся, то есть продолжающей жить. Всякому любознательному человеку такая область знания должна быть интересна.

Вообще образованность предполагает ведь знакомство не только с тем, что непосредственно используется в профессиональной деятельности, но и с человеческой культурой как таковой, чьей неотъемлемой частью — повторим это еще раз — является математика.

Однако образование состоит не только в расширении круга знаний. Не в меньшей степени оно состоит в расширении навыков мышления. Математик и гуманитарий обладают различными стилями мышления, и ознакомление с иным стилем обогащает и того и другого. Скажем, изучение широко распространенного в математике аксиоматического метода, при котором в рассуждениях дозволяется использовать только ту информацию, которая явно записана в аксиомах, воспитывает привычку к строгому мышлению. А знакомство со свойствами бесконечных множеств развивает воображение. Потребуются ли когда-нибудь, скажем, историку аксиоматический метод или бесконечные множества? Более чем сомнительно. Но вот строгость мышления и воображение не помешают и ему.

Поучительно сравнить между собой методы рассуждений, применяемые в математических и в гуманитарных науках. На самом деле, речь идет здесь о двух типах мышления, и человеку полезно быть знакомым с каждым из них. Автор не берется (потому что не умеет) описать эти типы, но попытается проиллюстрировать на двух примерах свое видение их различия.

Пример первый. Все знают, что такое вода, — это вещество с формулой H₂O. Но тогда то', что мы все пьем, — это не вода. Разумеется, в повседневной речи и математик, и гуманитарий и то', и то' называет водою, но в своих теоретических рассуждениях первый как бы тяготеет к тому, чтобы называть водою лишь Н₂O, а второй — все, что имеет вид воды. Потому что математик изучает идеальные объекты, имеющие такой же статус, как, скажем, круги и треугольники, которых ведь нет в реальной природе; гуманитарий же изучает предметы более реалистические. Боюсь, впрочем, что этот пример слишком умозрителен и способен отчасти запутать читателя. Вот другой, уже не умо-зрительный, а взятый из жизни. Имеется строгое (кстати, в наиболее отчетливой форме сформулированное Колмогоровым) определение того, что такое ямб. Мы имеем здесь в виду не ямбическую стопу та-та', понимание которой не вызывает вопросов, а ямбическую строфу, которая может состоять отнюдь не из одних только ямбических стоп (как иногда думают): любая ямбическая стопа может быть заменена пиррихием, а в особых случаях, впервые четко указанных Тредьяковским, и спондеем. Если в стихо-творении встречается отклонение от законов, которым обязана подчиняться ямбическая строка, то, с точки зрения математика, это уже не ямб. Однако для многих филологов стихотворение, содержащее не слишком много нарушений, не перестает быть ямбиче-ским — в то время как математик назовет его всего лишь похожим на ямб, ямбоподобным.

Ряд положений языкознания может быть изложен с математической точностью. (А для литературоведения, скажем, подобный тезис справедлив разве что в применении к стиховедению.) В то же время именно на уроках математики учащиеся могли бы приучаться правильно выражать свои мысли на своем родном языке. Уроки языка и уроки литературы на родном языке проводятся, как правило, одним и тем же учителем; на наш взгляд, было бы полезнее отделить лингвистику от литературы и объединить ее с математикой — с тем чтобы один и тот же учитель преподавал и математику, и родной язык.

В последние годы получило заметное распространение преподавание математики студентам гуманитарных специальностей. Если иметь в виду интересы такого преподавания, то понимание математиком способов мышления гуманитариев становится важно не только в общефилософском, но и в совершенно практическом аспекте. Чтобы преподавание было успешным, преподаватель-математик должен понимать, как предмет воспринимается его учениками-гуманитариями. Вот простой пример. Отношение называют рефлексивным, коль скоро всякий предмет, для которого данное отношение осмысленно, находится в этом отношении к самому себе. Пример рефлексивного отношения: “жить в том же городе”. Будет ли рефлексивным отношение ‘жить неподалеку’? Для студентов-математиков очевидно, что будет: каждый человек живет неподалеку от самого себя. Студенты же гуманитарии в большинстве своем расценивают высказывание «имярек живет неподалеку от себя» либо как ложное, либо как бессмысленное.

Было бы замечательно, если бы математик был способен понимать точку зрения гуманитария, а гуманитарий — точку зрения математика. И то, и другое трудно. Еще труднее не требовать признания одной из точек зрения единственно правильной. Таким образом, и гуманитариев, и математиков следует призвать сделать шаг навстречу друг другу. И начинать надо с преподавания, руководствуясь следующими словами А.Н. Колмогорова: «...Учитель (для конкретности — преподаватель математики) находится в том же положении, как ученый, приходящий со своей проблематикой в уже существующий вычислительный центр с определенным набором вычислительных машин, запасом заготовленных (с другими целями!) программ, даже со штатом программистов. Задача его состоит в том, чтобы обучить этот сложный механизм выполнить новую работу, используя все свои уже заготовленные заранее механизмы, программы, навыки».

Обсуждая вопрос о преподавании кому-либо чего-либо, полезно иметь представление о целях этого преподавания. Среди таких целей можно выделить две:

1) получение образования;

2) подготовка к профессии.

Разумеется, грань между повышением общеобразовательного уровня и профессиональной подготовкой зачастую стирается. Скажем, знакомство с аксиоматическим методом значимо не только в плане общего образования. Гуманитарию, в аспекте его профессиональных интересов, полезно знать, что наряду с известными ему способами постижения новых понятий — способами, основанными на предъявлении либо достаточного числа примеров, либо словесных дефиниций — существует и совершенно иной способ. Этот иной способ (он-то и называется аксиоматическим) заключается в том, что новое понятие вводится путем указания тех свойств, которыми оно должно обладать; приписывание же свойств понятию происходит путем формулирования соответствующих аксиом. Точно так же воображение, которое, как отмечалось выше, развивается при изучении бесконечности, может помочь и в профессиональной деятельности.

Сходным образом изучение математических моделей реальных явлений позволяет осознать границы моделирования, задуматься над соотношением между моделью и моделируемой реальностью. Но помимо этой философской миссии изучение математических моделей явлений экономики, психологии или лингвистики позволяет и лучше понять сами моделируемые явления.

Можно согласиться с теми, кто не устает напоминать об ограниченности математических моделей. Под ограниченностью понимается обычно их неспособность охватить описываемое ими явление во всей его полноте. Но нельзя согласиться с теми, кто в этой ограниченности видит их слабость. Скорее, в этом их сила. Математическая модель должна быть проста, а потому огрублена. Проиллюстрирую сказанное таким примером. Все знают, что Земля — шар. Те, кто получил некоторое образование, знают, что Земля — эллипсоид вращения, сдавленный у полюсов. Геодезисты знают, что Земля — геоид; геоид есть геометрическая фигура, поверхность которой совпадает с поверхно-стью Земли без учета таких мелких деталей, как горы и т.п. (более точно, — совпадает с той поверхностью, которую образовывал бы Мировой океан, если бы все материки и острова были бы залиты водой, или, еще более точно, были бы срезаны по уровню Мирового океана). Мы имеем здесь три математические модели, с возрастающей точно-стью описывающие моделируемый ими объект — форму планеты Земля. Самая важная из этих моделей — самая первая, она же самая неточная. Хотя для прокладки авиамаршрутов нужна, возможно, и вторая, а для запуска баллистических ракет — даже третья.

Роль математической модели для представителя гуманитарной науки можно сравнить с ролью скелета для художника, рисующего человека. Художник не изображает скелет, скелет скрыт и от него, и от зрителя картины, но, чтобы грамотно изобразить человеческую фигуру, полезно представить ее себе в виде скелетного каркаса, обросшего плотью. Так, гениальный математик Андрей Колмогоров очертил скелет понятия падежа, указав, в частности, основные исходные представления, необходимые для образования этого понятия (представления о синтаксически правильной фразе, о состоянии предмета, о выражении состояний предмета контекстами и т.п.). Гениальный лингвист Андрей Зализняк обрастил этот скелет лингвистической плотью в своем знаменитом трактате «Русское именное словоизменение».

Полное понимание реального строения окружающей нас Вселенной вряд ли когда-либо будет достигнуто. Однако именно математические модели приближают нас к такому пониманию и — это главное — объясняют, каким это строение может быть. А ведь если вдуматься, то понимание некоторых сторон устройства пространственно-временного континуума (а может, вовсе и не континуума, а чего-то дискретного) существенно для выживания человечества — или, точнее, того, во что превратится человечество в далеком будущем.

Из только что сказанного напрашивается, казалось бы, вывод, что главная цель обучения гуманитариев математике состоит в обучении их математическим моделям языка или хотя бы в создании фундамента для такого обучения. Однако это не так.

Главная цель обучения гуманитариев математике — психологическая. Эта цель состоит не столько в сообщении знаний и даже не столько в обучении методу, сколько в изменении — нет, не в изменении, а в расширении психологии обучающегося, в привитии ему строгой дисциплины мышления (слово «дисциплина» означает здесь, разумеется, не учебный предмет, а приверженность к порядку и способность следовать этому порядку). Помимо дисциплины мышления я бы назвал еще три важнейших умения, выработке которых должны способствовать математические занятия. Перечисляю их в порядке возрастания важности: первое — это умение отличать истину от лжи; второе — это умение отличать смысл от бессмыслицы; третье — это умение отличать понятное от непонятного.

Вливание элементов математической психологии в сознание гуманитариев (недруги такого вливания назвали бы его индоктринизацией, а то и интоксикацией) может осуществляться как в прямой форме, путем обучения в классах и аудиториях, так и в форме косвенной, путем проведения совместных исследований, участия математиков в проводимых гуманитариями семинарах и т.п.; к косвенным формам влияния относятся даже вопросы, задаваемые математиками на лекциях на гуманитарные темы. Здесь на память приходит известный случай из истории психологии. В конце XIX века в одной из больших аудиторий Московского университета был объявлен доклад на тему «Есть ли интеллект у животных?». Собралось несколько сот слушателей. Председательствовал известный московский профессор математики Николай Васильевич Бугаев — президент Московского математического общества и отец Андрея Белого. Перед началом доклада он задал каждому вопрос, знает ли тот, что такое интеллект, и каждый дал отрицательный ответ. Тогда Бугаев объявил, что, поскольку никто из присутствующих не знает, что такое интеллект, доклад о том, есть ли он у животных, состояться не может. Это типичный пример косвенного воздействия математического мышления на мышление гуманитарное. Подобные формы воздействия также являются одними из элементов математического образования. За последние полвека заметно уменьшилось количество непонятных или бессмысленных утверждений в отечественной литературе по языкознанию; полагаю, что это произошло не без влияния — как прямого, так и главным образом косвенного — математики. (Доводится, впрочем, и языковедам поправлять математиков; так, журнал «Успехи математических наук» опубликовал в 2000 году статью упоминавшегося уже А.А. Зализняка «Лингвистика по А.Т. Фоменко»: т. 55, вып. 2, с. 162—188.)

Разумеется, математики не претендуют на то, чтобы ответить на проблемы, возникающие в гуманитарных науках (хотя именно математику Колмогорову принадлежит первое научное определение лингвистического понятия ‘падеж’ — см. выше). Но они помогают гуманитариям лучше уяснить суть этих проблем и критически отнестись к попыткам их решения.

Роль математики в подготовке гуманитариев можно сравнить с ролью строевой подготовки в обучении воина. Все эти ружейные артикулы, повороты, строевой шаг и иные движения, которым обучают молодого бойца, вряд ли находят применение в реальном бою. Но во всех армиях мира они рассматриваются как необходимая основа всякого военного обучения, поскольку приучают выполнять команды. (Кстати, оперирование с математическими алгоритмами также приучает выполнять команды. «Сначала я вам скажу, что я делаю, а [только] потом объясню, зачем», — это программное заявление содержится в одной из книг по методике математики.)

Строевая подготовка тренирует дисциплину — только не дисциплину мышления, как это делает математика, а дисциплину действий.

Другая аналогия — тренировка моряков на парусных судах. Не знаю как сейчас, но во времена моей молодости всякий, кто обучался в гражданских мореходных вузах, в обязательном порядке проходил плавание на парусниках — и это при том, что применять полученные парусные навыки впоследствии ему вроде бы не приходилось. Тем не менее обучение этим навыкам считалось (а может быть, и считается до сих пор) необходимой частью морской подготовки, необходимым тренингом. Сходным тренингом — тренингом мышления, наведением порядка в мозговых извилинах — служит математика.

Спросите «человека с улицы», в чем состоит аксиома о параллельных прямых и в чем состоит открытие Лобачевского. Эксперимент показывает, что на первый вопрос ответ (причем и в России, и в Америке) будет в большинстве случаев таким: аксиома состоит в том, что параллельные прямые не пересекаются. А на второй вопрос ответ будет скорее всего таким: Лобачевский доказал, что параллельные прямые пересекаются. При этом отвечающий, как правило, знает, что прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Вопрос про аксиому о параллельных не является, разумеется, вопросом на испытание памяти. Точно так же вопрос про открытие Лобачевского не является вопросом на проверку эрудиции. Оба вопроса — на понимание смысла утверждений. Строго говоря, вся ситуация лежит здесь не в сфере математики, а в сфере семантики русского или иного естественного языка. И это довольно типично: значительная часть того, что происходит на уроках математики для гуманитариев, как раз и должна, по нашему разумению, состоять в обучении этой семантике. Математики впитывают семантику неосознанно, поскольку занятия математикой невозможны без четко сформулированных утверждений. Столь же неосознанно у гуманитариев эта семантика размывается — не без влияния расплывчатых текстов гуманитарных наук.

Диалог математика с гуманитарием о параллельных прямых мы считаем полезным и поучительным для обеих сторон. Вот еще пример такого полезного и поучительного диалога.

Математик. Возьмем прямую линию и точку на ней. Существует ли на этой прямой точка, ближайшая к нашей точке и лежащая справа от нее?

Гуманитарий. Да, существует.

Математик. Вы не возражаете, если исходную точку мы обозначим буквой A, а ближайшую к ней справа буквой B?

Гуманитарий. Не возражаю.

Математик. Вы согласны с тем, что всякий отрезок имеет середину?

Гуманитарий. Согласен.

Математик. Значит, и у отрезка AB есть середина. Но ведь эта середина явно ближе к точке A, чем точка B. Меж тем, точка B — ближайшая к A. Как быть?

Гуманитарий. (Не знает, что сказать.)

Математик. Я лишь хотел обратить ваше внимание, что не могут одновременно быть истинными оба утверждения о существованиях: «Для всякого отрезка существует его середина» и «Для точки на прямой существует ближайшая точка справа».

Надо признать, что ответ «Да, существует» относительно ближайшей точки встречается хотя и весьма часто, но все же реже, чем приведенные выше ответы, касающиеся сущности аксиомы о параллельных и открытии Лобачевского.

К воспитываемой на уроках математики дисциплине мышления относится осознание отчетливого различия между истиной и ложью, между доказанным и всего лишь гипотетическим: ведь эти различия нигде не проявляются с такой четкостью, как в математике. Автору очень хочется сказать, что математика — единственная наука, где достигается абсолютная истина, но он все же на это не решается, так как подозревает, что абсолютность истины недостижима. Но в любом случае математические истины ближе к абсолютным, чем истины других наук. Поэтому математика — наилучший полигон для тренировки на распознавание истины. Истина — основной предмет математики.

Духовная культура состоит не столько в знаниях, сколько в нормах. Нормы проявляются прежде всего в противопоставлениях. Эстетика учит нас противопоставлению между прекрасным и безобразным, высоким и низким. Этика — между должным и не должным, между нравственным, моральным и безнравственным, аморальным. Юриспруденция — между законным, правовым и незаконным, неправовым. Логика — между истинным и ложным. Но логика сама по себе не создает истин. Ее законы носят условный характер: если истинно то-то и то-то, то неизбежно истинно то-то и то-то. (Точно так же теория вероятностей ни для какого события не назначает и не может назначать вероятности этого события, а лишь указывает, как по одним вероятностям вычислять другие. Например, она учит, что если при бросании монеты выпадение орла имеет вероятность одна вторая, то выпадение четырех орлов подряд имеет вероятность одна шестнадцатая.) Знаменитый силлогизм про смертность бедного Кая не утверждает, что Кай смертен, а утверждает лишь, что если все люди смертны и если Кай человек, то и он, Кай, смертен.

Истину же поставляют конкретные науки, в том числе математика. Кажется, что математика становится тем самым на одну доску с другими науками. Но нет, это не так: ее и только ее истины могут претендовать на абсолютность, а если даже не абсолютны, то «почти» абсолютны.

Казалось бы, что может быть важнее и первичнее, чем умение отличать истинные высказывания от высказываний ложных. Однако еще более важным, еще более первичным является умение отличать осмысленные высказывания от бессмысленных. Вот характерный пример бессмысленного высказывания: «рассмотрим совокупность всех слов, имеющих хотя бы одну общую букву». Бессмысленность этого заявления вызвана тем, что такой совокупности не существует. (В самом деле, «рот» и «сыр» имеют общую букву «эр» и потому должны принадлежать этой совокупности. Слово «око» должно принадлежать этой совокупности, поскольку имеет общую букву со словом «рот», и не должно ей принадлежать, поскольку не имеет общих букв со словом «сыр».) Мы потому назвали пример характерным, что подобные псевдоконструкции, ничего на самом деле не конструирующие, были довольно типичны для литературы по языкознанию несколько десятилетий назад. Возникало даже парадоксальное удовлетворение, когда некоторое утверждение можно было квалифицировать как всего лишь ложное — чувство удовлетворения возникало потому, что ложность утверждения свидетельствовала о его осмысленности.

В диалоге преподавателя-математика со студентом-гуманитарием зачастую приходится просить студента вдуматься в то, что он только что сказал, и затем спросить его, понимает ли он то, что сам сказал. Не столь уж редко честные студенты после размышления в некоторой растерянности признаются, что не понимают.

Когда знаменитого педиатра доктора Спока спросили, с какого возраста следует начинать воспитывать ребенка, он, узнав, что ребенку полтора месяца, ответил: «Вы уже опоздали на полтора месяца». Не следует ли умение отличать осмысленное от бессмысленного и истинное от ложного неназойливо развивать уже с начальных классов школы? И не является ли это главным в школьном преподавании?

Следует сказать, что для того, чтобы квалифицировать высказывание как ложное, бессмысленное или непонятное, надо сделать некоторое усилие — иногда почти героическое: как же так, уважаемый человек что-то говорит или пишет, а ты осмеливаешься его не понимать или, поняв, возражать. Не все и не всегда способны на такое усилие.

Способность к тому усилию, о котором только что говорилось, тренируется (во всяком случае, должна тренироваться) на уроках математики и при общении с математиками. Дело в том, что математика — наука по природе своей демократическая. На ее уроках воспитывается — а при косвенном воздействии прививается — демократизм. Внешние формы такого демократизма произвели большое впечатление на автора этих строк в его первые студенческие годы, когда он стал обучаться на механико-математическом факультете Московского университета. Если почтенный академик замечал, что выступающий вслед за ним студент собирается стереть с доски им, академиком, написанное, он с извинениями вскакивал с места и стирал с доски сам. Для профессора мехмата было естественно самому написать и вывесить объявление; для профессора какого-либо гуманитарного факультета это не было столь естественно. Внешние проявления косвенно отражают глубинные различия. Ведь математическая истина не зависит от того, кто ее произносит, академик или школьник — при этом академик может оказаться неправ, а школьник прав. Чем наука дальше от математики, чем она, так сказать, гуманитарнее, тем сильнее убедительность того или иного высказывания начинает зависеть от авторитета высказывающего лица. На гуманитарных факультетах подобная персонализация истины еще недавно ощущалась довольно сильно. Это верно, потому что сказано имяреком или даже Это верно, потому что сказано мною — такие императивы, высказанные в явной или, чаще, неявной форме, не столь уж редки в гуманитарных науках. В естественных науках и в математике они невозможны. (Впрочем, в тоталитарном обществе принцип приоритета того, кто на должность авторитета назначен властью, применялся, с печальными последствиями, и к естественным наукам — достаточно вспомнить лысенковщину. Проживи Сталин дольше, возможно, была бы заменена и таблица умножения. Попытки отменить, скажем, теорию относительности были в действительности.)

Нет в математике и «царского пути». Здесь я ссылаюсь на известную историю, то ли подлинную, то ли вымышленную, которую одни рассказывают про великого математика Архимеда и сиракузского царя Гиерона, другие про великого математика Евклида и египетского царя Птолемея. Царь выразил желание изучить геометрию и обратился с этой целью к математику. Математик начал его обучать. Царь выразил недовольство тем, что его учат совершенно так же, в той же последовательности, как и всех других, не принимая во внимание его царский статус, каковой, по мнению царя, предполагал особый способ обучения. На что математик, по преданию, ответил: «Нет царского пути в геометрии».